Algunas notas sobre ajuste de curvas y sus consecuencias.

Me ha parecido interesante escribir sobre esto con el fin de llamar la atención sobre el uso de herramientas que nos permitan ver gráficamente los datos. Yo vi las coordenadas por encima y las di por buenas, las vi en gnuplot y también. Hasta que no he hecho zoom no han salido a la luz los problemas. Las consecuencias podían ser nefastas.

Mirando de cerca el código que emplee para alterar la forma de los perfiles anteriormente he descubierto algún error. Detalles matemáticos, pero con importancia.
A muchos pueden sonarnos iguales los términos “b-spline” y “spline”. Los términos pueden ser muy parecidos, pero el concepto matemático es totalmente distinto. Las curvas de tipo spline son más parecidas a los polinomios de interpolación a los que estamos acostumbrados que a las curvas que aparecen en los programas de CAD, por ejemplo. Las splines se definen matemáticamente bajo la condición de que el punto de interpolación ha de formar parte de la curva, tiene que pertenecer a ella. Los splines cúbicos se adaptan muy bien a las curvas con un grado bajo y evitando las oscilaciones de los polinomios de grado alto -se “descontrolan” al pasar de grado 5-6 por norma. A priori pueden parecer nuestros amigos pero…
El resultado de emplear una spline para enlazar los puntos de control.
El resultado de emplear una spline para enlazar los puntos de control.
Por el contrario las curvas de tipo b-spline no necesariamente han de contener a los puntos de interpolación, solamente han de contener obligatoriamente a los puntos inicial y final y debido a ello son más suaves (ojo! dependiendo del grado, pero ahora no es momento de entrar ahí).
Aún nos quedan un par de detalles, puesto que los perfiles han de tener una cuerda fija, en mi caso de la unidad, es imprescindible que los puntos (0,0) y (1,0) que definen el borde de ataque y el de salida respectivamente queden contenidos en las curvas. Es este hecho el que hace que siempre que se aproxime un perfil (por la vía fácil) se haga mediante dos b-splines en lugar de una.
El ajuste de curvas mediante b-splines puede requerir un poco de picardía por nuestra parte, debemos colocar más puntos de control allí donde sea necesario mantener una buena fidelidad con el modelo, como el caso del borde de ataque. El resultado puede ser algo así, para un caso rápido:
Ajuste de los puntos de control mediante b-splines.
Ajuste de los puntos de control mediante b-splines.
Aún así, los resultados no son óptimos. El ajuste de curvas mediante b-splines no es tan simple cuando lo queremos hacer con pocos puntos de control. Miremos el resultado; en azul la forma óptima, el contorno interior es el que ajusta con 14 puntos de control:
Comparativa entre los métodos de ajuste.Si queremos que el resultado -con pocos puntos de control- sea óptimo hay que hacer un ajuste inverso de la curva, en lugar de tomar puntos de control sin más hay que contestar a la pregunta ¿dónde han de situarse los puntos de control para que la b-spline ajuste perfectamente?. No es complicado, jugad un poco.
Antes de hacer la comparativa entre mallas estructuradas y no estructuradas quería jugar un poco con gmsh, desgraciadamente los exámenes no dejan mucho tiempo libre. Aunque siempre hay algún hueco.
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