Vortex panel method, introducción.

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Vortex panel method, modelo matemático.

Desde el punto de vista aerodinámico, la teoría de perfiles delgados de Prandlt constituye una forma elegante y simple de obtener el coeficiente de sustentación y de momento de un perfil dado, ya que éstos pueden determinarse de forma analítica sin más que integrar la curva que los define y obtener un par de constantes.
A pesar de su simplicidad, la teoría clásica presenta varias limitaciones significativas:
  • Sus resultados se acercan al modelo real bastante bien siempre y cuando los perfiles tengan un espesor inferior al 12%, lo cual deja fuera de nuestro estudio un gran abanico de perfiles.
  • Un pequeño rango de ángulos de ataque. Los resultados son precisos para ángulos de ataque pequeños, lo cual limita bastante el campo de estudio, máxime cuando pretende estudiarse un determinado perfil en todas sus actuaciones, incluyendo el despeque o el aterrizaje.
  • El campo de aplicación de la teoría se reduce a determinar las características aerodinámicas de perfiles. Ésto puede parecer una obviedad, pero es de gran interés disponer de un modelo que nos permita determinar los coeficientes aerodinámicos sobre formas arbitrarias.
Queda claro pues, que es necesaria una herramienta distinta si nuestro objetivo es comprender el espectro completo de aplicaciones de un perfil, o determinar las actuaciones aerodinámicas de un cuerpo con una forma arbitraria.
La solución encontrada al problema es la base de los modernos códigos empleados en CFD (Computational Fluid Dynamics) y consiste en un método numérico conocido comunmente como «panel method»  (Castellanizado como «método de paneles»)..
Los métodos de paneles parten de una idea común, se basan en la discretización del contorno de la superficie a tratar para incluir en el punto medio de cada uno de los segmentos una singularidad. Ésta singularidad puede ser un vórtice, torbellino, fuente, doblete o combinación de ellos. Una vez distribuidos se calcula la influencia de cada uno de ellos más la corriente libre sobre el resto, lo que resulta en una matriz de influencia. El vector de coeficientes quequeda determinado en función de consideraciones geométricas sobre el panel . Resolviendo el sistema originado tendremos el coeficiente de presiones sobre cada uno de nuestros segmentos.
Ha sido un tema muy prolífico en los últimos años debido a la potencia de cálculo que han proporcionado los procesadores y se han desarrollado multitud de algoritmos destinados a la resolución numérica. La resolución analítica del método carece, salvo en casos sencillos, de interés, centrándose los esfuerzos en la implementación de los modelos en forma de algoritmos computacionales eficientes que puedan resolver formas complejas sin esfuerzo.
La descripción de los pormenores de cada uno de los métodos queda fuera de contexto, y se recomienda al lector interesado referirse a la bibliografía. Sí que se va a presentar una clasificación básica, que sirve como justificación a la elección del método elegido.
En función de las singularidades que emplee el modelo tendremos:
  • Métodos que emplean singularidades que no inducen circulación en una corriente libre, como las «fuentes». Los métodos son válidos para distrubuciones simétricas de flujo alrededor de cuerpos suaves, donde no se genera circulación, y por ende sustentación. Su planteamiento conlleva pocas complicaciones al no tener que incluir condiciones para que sea posible la generación de sustentación, id est, el cumplimiento de la condición de Kutta.
  • Métodos que emplean singularidades que inducen circulación, tales como torbellinos o dobletes. A diferencia de los anteriores, estos métodos son aptos en contextos que involucran la generación de sustentación, tales como perfiles sumergidos en una corriente libre. El planteamiento de estos modelos es más complejos debido a la necesidad de implementar la condición de Kutta, que genera un sistema algebraico sobre-condicionado (más ecuaciones que incógnitas). Existen varias propuestas para lidiar con el problema.
  • Métodos mixtos. Se trata más bien de un caso particular dentro de los últimos, en los cuales se distribuyen además singularidades no-sustentadoras con el fin de condicionar mejor el sistema de ecuaciones y mejorar la exactitud.
Por otra parte, los métodos de paneles se clasifican según el orden:
  • De primer orden. Son los más simples, simplifican los cálculos considerando que el valor del coeficiente de presión a lo largo de un mismo panel es constante. El resultado es muy dependiente del número de paneles (intervalos en los que hemos discretizado el contorno) cuando el número de paneles es pequeño. De esta manera proporciona una buena aproximación a los resultados empíricos de una forma muy rápida cuando se emplean pocos paneles. Si se desea mayor precisión basta con aumentar el número de paneles a costa de mayor carga de cálculo.
  • De orden N. Emplean un algoritmo corrector que considera la influencia de N paneles a cada lado. En la práctica es equivalente a buscar los coeficientes de un polinomio de aproximación de orden N que describa la evolución del coeficiente de presiones a lo largo del panel teniendo en cuenta la influencia de los paneles cercanos.
    Como es lógico, los datos obtenidos mediante métodos de orden N son más suaves y se comportan mejor en puntos más complejos como son el borde de ataque y de salida.
    Una implementación más compleja y una mayor carga computacional son el coste a pagar.
NOTA: Esto ha sido una introducción a la motivación y a las ideas de los métodos de paneles, base de los modernos códigos CFD, en la siguiente entrega entraré a fondo en el tratamiento matemático del problema.
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