Aerodinámica fácil. Conceptos básicos (I) La ecuación de continuidad.

Aerodinámica fácil. la ecuación de continuidad.

La ecuación de continuidad.

Si tratas con este blog, o si tienes curiosidad por los temas relacionados con el CFD (Computational Fluid Dynamics) seguramente esto pueda interesarte, pero si ya dominas los conceptos básicos ésto te va a aburrir.

El objetivo de esta serie de post es hacer asequible a todos los conceptos de la aerodinámica, coger un libro de aerodinámica no es apto para todos los públicos, sin embargo hay mucha gente curiosa y si esto puede servirles para comprender los mecanismos… bienvenido sea.
Trataré de explicar los conceptos de forma sencilla y con ejemplos, y siempre que tenga tiempo haré alguna simulación, de forma gráfica se comprenden mejor las cosas.

Vamos con un poco de teoría, después lo explico todo.
El CFD en esencia no es más que la resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales (ruego piedad a algunos, esto es divulgativo) donde las condiciones de frontera para estas ecuaciones se dan sobre el contorno del volumen de control.
Imaginad que tenemos un coche dentro de un túnel de viento, tendremos una extrada de aire (una pared por donde entra masa), una salida de aire (una pared donde debe salir la misma cantidad de masa que ha entrado) y el resto de paredes junto con la superficie de nuestro coche que serán precisamente eso, paredes (walls), es decir, superficies sin transferencia de masa a través de ellas, y posiblemente con un coeficiente de rozamiento. (La condición para hacer las paredes opacas a la transferencia de masa es imponer la condición de que la velocidad del flujo es paralela en todo punto a la pared).
Si pensamos un poco, en el fondo todo está planteado de tal forma que puede escribirse en términos de tasas de cambio, es decir, derivadas. Un ejemplo, la entrada y la salida de nuestro túnel deben cumplir lo siguiente; la masa que entra por unidad de tiempo al volumen de control debe ser la misma masa que sale por unidad de tiempo del sistema. Esta relación en mecánica de fluidos se denomina ecuación de continuidad y es algo así:
(ρ)/(t) + ∇(ρV) = 0
Donde V es una cantidad vectorial, por lo que esa ecuación realmente son “tres ecuaciones” y forman parte de las seis ecuaciones de Navier-Stokes que se resuelven en CFD. Pero para comprender mejor el concepto de las condiciones de contorno y las formulaciones diferenciales vamos a ponerla de esta forma, despreciando algunas cosas:
(dm)/(dt)entrada = (dm)/(dt)salida
Esta es nuestra ecuación de continuidad “adaptada”. Para poder resolver esta ecuación en nuestro dominio tenemos que aplicar las condiciones iniciales o de contorno. La masa que entra es la masa que sale, bien ¿Cuánta masa entra por nuestra pared de entrada?. La masa que entra al sistema puede especificarse de diferentes formas, pero vamos a pensar en un túnel de viento, lo que hacemos allí es especificar una velocidad. Lo haremos en esos términos, 20 m/s. También necesitaremos conocer la densidad del fluido, aire en nuestro caso y el área de entrada. Una vez tenemos todo sabremos que a nuestro volumen de control entran 10 kg/s de aire, que es lo que debe salir por la pared de la salida. Sencillo.
Si las paredes de nuestro túnel son paralelas y no hay nada dentro esto no tiene más miga, pero aún podemos jugar un poco. Pensemos que nuestro túnel de viento se estrecha de la siguiente manera:

Voy a introducir otro planeamiento de la ecuación de continuidad, pero esta vez sin derivadas para hacerlo más sencillo:
(ρAV)entrada = (ρAV)salida
La densidad del fluído multiplicada por el área de entrada y por la velocidad a la que entra al volumen de control es igual a la densidad del fluído multiplicada por el área de salida y por la velocidad a la que abandona el volumen de control.
Otra simplificación; a bajas velocidades, típicamente por debajo de Mach 0.3 se considera que la densidad del aire varía muy poco, es decir, se considera al aire como un fluído incompresible (algo así como el agua). Reformulamos de nuevo:
(AV)entrada = (AV)salida
Ahora el área de salida es más estrecha que la entrada, por lo que para cumplir nuestra ecuación deben de alterarse los términos a la salida. Se producirá un incremento de velocidad a lo largo del túnel para poder tener una mayor velocidad a la salida, de otra manera no se cumple nuestra ecuación. Interesante, ¿verdad?. Alterando la geometría hemos conseguido cambios de velocidad en el fluído y si nos moviésemos a velocidades más altas conseguiríamos que apareciesen fenómenos más interesantes que acarrean cambios de densidad (ya los trataremos).
¿El ejemplo que siempre se suele poner? Tapar un poco la salida de la manguera. Reducimos el área de salida y ganamos velocidad. Sin embargo siempre decimos que así “más presión”, ¿es eso válido?.
Presión y velocidad son dos conceptos acoplados, no podemos definir el uno sin el otro. A más presión menos velocidad y viceversa. Vamos a comprobarlo mediante una simulación.

Como podemos ver en la escala, la presión a la entrada es la más alta del rango. Esto es debido a que la velocidad es la más baja en todo el túnel. La velocidad aumenta según nos movemos hacia la salida, y de la misma manera disminuye la presión.
Los cortes están realizados a intervalos de 20 unidades, si os fijáis veréis como la presión disminuye más rápidamente según nos acercamos a la salida.

Para ecuaciones y sobre todo geometrías simples como las anteriores pueden encontrarse soluciones de forma analítica (a mano, para los amigos), sin embargo la mayor parte de los casos de interés no presentan estas facilidades. Hay que recurrir entonces a métodos numéricos como el que trataré en el siguiente post, las diferencias finitas o los volúmenes finitos.

Nota; las simulaciones han sido realizadas con el software gratuíto OpenFoam, colgaré las geometrías y haré algunos tutoriales si os interesa. Si alguien lo pide puedo colgar los archivos antes.

¿Dudas? 

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